Структура реальности.

  "Всё есть число." Пифагор.

   "“Величина есть определенность, которая больше не едина с бытием, а уже отлична от него, она снятое, ставшее безразличным качество. Она включает в себя изменчивость бытия, не изменяя самой вещи, бытия, определением которой она служит” Г.В.Ф. Гегель "Наука Логики"  М. 1970. Т. 1. с.137.  

       Выше приведены две противоположные точки зрения на роль математики в качестве основы бытия. Какая и них верна? Развитие науки показывает нам, что и Гегель, и Пифагор были слишком радикальны в своих выводах относительно математики и истивнным является нечто среднее.

      Истинным, судя по всему (и это будет видно из содержания всего раздела) является другой тезис, похожий на тезис Пифагора:  "Всё есть вектор".

     Современная математика с момента создания теории множеств и абстрактной алгебры занимается не столько числовыми отношениями и их алгебраическими обобщениями, сколько такими абстрактными образованиями, которые называют структурами. А если говорить словами Н.Бурбаки, то “единственными математическими объектами становятся, собственно говоря, математические структуры”. Бурбаки выделил три типа базовых структур всей математики.

    Алгебраические структуры. Примерами таких структур являются группы, кольца, поля, векторные пространства и т.д. Основные характеристики алгебраической структуры: задание на некотором множестве конечного числа внутренних и внешних операций с соответствующими свойствами - аксиомами алгебраической структуры. В качестве элементов множества могут выступать объекты любой природы.

    Порядковые структуры. Они характеризуются тем, что на множестве объектов задается отношение между двумя элементами, которое мы чаще всего выражаем словами «меньше или равно». Это отношение обладает свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Изучение общих свойств различных упорядоченных множеств привело к возникновению таких абстрактных порядковых структур как цепи, вполне упорядоченные множества, решетки, булевы алгебры и т.д.

     Топологические структуры. Множество обладает топологической структурой, если каждому его элементу тем или иным способом отнесено семейство подмножеств из него, называемых окрестностями этого элемента, причем эти окрестности должны удовлетворять определенным аксиомам (аксиомам топологической структуры). С помощью топологических структур точно определяются такие понятия, как окрестность, предел, непрерывность.
 

     Как показали данные психологических исследований, проведенных школой Ж. Пиаже, психологические математические структуры, образующиеся в сознании ребенка, полностью соответствуют основным типам математических структур. Итак, была установлена аналогия между «архитектурой» математики как науки и «архитектурой» развивающегося мышления.

    Любопытно тут и то, что эти структуры естественным образом соответствуют гегелевской схеме категорий Бытия (триаде Качество - Количество - Мера). Качество <=> алгебраическое, количество <=> порядковое, а топология соответствует философскому понятию меры. Каждое из них тоже снова делится на 3 (например, порядковые отношения делятся на эквивалентные, порядки и функциональные - по Гегелю это называется граница, порядок, отношение). В топологии 3 ключевых понятия, соответствующих гегелевской схематике - множества, отделимость, метрика (соответствует собственно мере, узловой линии меры и внутренней неразличимости содержания меры). Среди алгебраических структур я так выделю операции, аксиомы, множества (что соответствует становлению, наличному бытию и системам). В итоге всего 9. В виде схемы:

    Чистое бытие (Становление, С)                                          Операции (О)

+ Наличное бытие (Определённость, О)           < = >             Аксиомы   (А)

    = Для-себя-бытие (Целостность, Ц)                                    Множества (М)

+

⁠     Чистое количество (Граница, Г)                                         Эквивалентность (Э)

+ Определённое количество (Порядок, П)        < = >             Порядковость (П)

    = Количественное отношение (Функция, Ф)                       Функциональность (Ф)

=

⁠     Специфированное количество (Мера, М)                         Множества с топологией (Т)

+ Специфическая мера (Узловая линия, У)          < = >        Отделимость (ОТ) 

    = Реальная мера (Внутренняя неразличимость, В)          Метрика  (МТ)

     После этого введения можно перейти к тому,почему именно векторы играют основную роль как "кирпичики мироздания". Описанная выше схема в сокращённом варианте выглядит вот так:

     ⁠Качество (качественное, К)                                                 Алгебра (А)

+   Количество (исчислимое, И)           < = >                            Порядки  (П)

 =  Мера (вычисляемое, В)                                                       Топология (Т)

     Пересечение качества с мерой происходит в области физики. Например, 5 килограмм соли - физика изучает, что такое "килограмм", что такое "соль", но не изучает, что такое "5".

     Пересечение меры с количеством происходит в области информатики. Например, картинка занимает 5 мегабайт на диске - в информатике изучают, что такое мегабайт, системы счисления, формат данных, однако что такое сама картинка - выходит из её рассмотрения.

     Пересечение качества с количеством происходит в области математики. Например, линия длиной 5 метров. В математике изучаются линии и что такое "5", но не изучаются метры.

    Нетрудно видеть, что эта схематика соответствует объединению всеобщего (В) и единичного (Е) в особенном (О). Качество выступает как всеобщее, количество как единичное, а мера - как особенное. Например, электрический заряд. Величина выступает как единичный момент реальности, само качество быть заряженным - всеобщий, а размерность (кулоны) - особенный.

    Единство всех трёх моментов (В-Е-О) преодолевает три радикальных неполных мировоззрения, существующих в наше время: физикализм, функционализм и математический платонизм.  

    Физикализм заключается в том, что всё существующее может быть описано на языке физики.

    Функционализм заключается в том, что всё существующее может быть описано как функции в казуальной цепи переработки информации.

    Математический платонизм заключается в том, что всё существующее является "математической вселенной". 

    Можно указать недостатки всех трёх подходов:

    1. Физикализм соединяет общее с особенным, но в результате исчезает единичное. Физикалисты  могут поступать двояко - можно, с одной стороны, считать всю реальность единым целым, и тогда особенное выступает лишь в роли подсистем этой реальности, а единичному не остаётся места, так как особенное растворяется во всеобщем. Либо считать реальность сложенной из маленьких кирпичиков (подобно древнегреческим атомистам) и общее представлять себе лишь как формально общее, сходство или одинаковость - это ведёт к варианту номинализма, в котором всеобщее растворяется в особенном, и единичное снова исчезает. Однако опыт сознания каждого человека прямо свидетельствует о существовании единичного в форме "Я", откуда и проистекают различные попытки физикалистов отрицать существование "Я". Подобного рода мировоззрение существует с древних времён - это и древние материалисты вроде Демокрита, и даже буддисты.

   2. Функционализм соединяет отдельное с особенным, пренебрегая всеобщим. Подобный подход  рассматривает всё вокруг как кибернетические модели, машины (схожим мировоззрением обладают и многие биологи, а также современные сциентисты и популяризаторы науки). В отличие от физикализма, функционализм характеризуется не метанием между двумя несовместимыми крайностями, одинаково несовместимыми с единичным сознанием (что часто, например, приводит к метаниям материалистов из панпсихизма в механицизм и обратно), а встречным одновременным движением двух противоположных моментов таким образом, что одна противоположность точно совпадает с другой. Первый момент называется потреблением, а второй момент называется отчуждением, и оба они характеризуются умиранием духа, вынужденного метаться между отдельным и особенным. Именно на "смерти Бога" как отрицании всеобщего строится современное общество потребления. Хорошо об этом писал Линьков:

      "Дух только тогда и дух, когда он не теряет себя в ином, а пребывая в ином приходит к себе. Всякое бездушие и означает, что этот человек покинут духом, он вне себя. Значит цели этого человека, его деятельность, вне природы человека. Поэтому предав истину, человек предал себя как человека и обречён на бытие животного. Единичное и особенное лишаются без всеобщего своего смысла. Знание и действие в рамках особенного и единичного и есть поприще духовных мертвецов, ничего значительнее животных целей здесь не достигается. "

     Хороший подробный разбор диалектики общества потребления был произведён Бордрийяром.

    Поскольку в таком мировоззрении происходит ликвидация и особенного, и единичного, то оно нередко соединяется с физикализмом и забирает его худшие черты, уничтожая в том числе и всякое философское мышление, сами категории всеобщего-особенного-единичного. До предела данная тенденция в наше время доходит в постмодернизме, уничтожающем смысл.

    3. Математический платонизм соединяет общее с отдельным, игнорируя особенное. В таких концепциях нередко целиком сохраняется единичное, феномен "Я" (например, по Тегмарку).

      Поскольку особенное соединяет единичное со всеобщим, то подобные концепции теряют связь с конкретным, а значит погружаются в абстрактное, выдают абстрактное за конкретное. Увлечение подобными концепциями является закономерным этапом в развитии духа, освобождающегося от непосредственной чувственности в поисках своего начала. А приводят они, в конечном итоге - к разрыву единичного и всеобщего, не получается соединения.

      Об этом в том числе писал Гегель в "Феноменологии духа": “возвышающийся над чувственным миром и познающий свою сущность дух, ища стихию для своего чистого представления, для выражения своей сущности, может поэтому до того, как постигнет, что эта стихия есть сама мысль, и обретет для ее изображения чисто духовное выражение, вздумать избрать для этого число, эту внутреннюю абстрактную внешность”. 

      Если следовать математическому платонизму до конца, то в конечном счёте это приводит к возврату к идеям Пифагора, так как конечная точка, до которой редуцируется математика - это натуральные числа. Как говорил великий математик Кронекер "Бог создал натуральные числа. Человек придумал всё остальное.". Ясность в данный вопрос была внесена Бертраном Расселом:

     «…все определения числа, предложенные до Фреге, содержали элементарные логические ошибки. Обычно «число» раньше отождествляли с «множественностью, совокупностью». Однако конкретный пример «числа» – это определенное число, скажем, 3, а конкретный пример 3 – это определенная тройка. Тройка и есть совокупность, а класс всех троек, который Фреге отождествляет с числом 3, есть совокупность совокупностей, а число вообще, частным случаем которого является 3, есть совокупность совокупностей совокупностей. Элементарная грамматическая ошибка, состоящая в смешении числа вообще с простой совокупностью данной тройки, сделала всю философию числа до Фреге переплетением абсурда в самом строгом смысле слова. Из работ Фреге следует, что арифметика и чистая математика, в общем, есть не что иное, как продолжение дедуктивной логики. Это опровергает теорию Канта о том, что арифметические суждения являются «синтетическими» и заключают в себе ссылку на время». История западной философии. Том 3, глава 31

     Никакого "цифрого идеализма". Никакой вневременной и внепространственной реальности. Рассел говорил, что число (по крайней мере натуральное) - суть совокупность совокупностей совокупностей. На практике, однако идея чисел не выводится с помощью логики (потому что сам счёт предполагает её использование), а приходит с помощью определенных образов ("смыслов"), которые появляются у людей вследствие их единства с окружающим миром. Точно также, как и то, что, к примеру, мы видим пространство прямым, видим многие симметрии в природе, обнаружение которых является алгоритмически невычислимой задачей. Просто мы - часть природы и мышление наше хорошо приспособлено к ней.

     Проблема в разных философиях возникает в том, что если противопоставить сознание миру (всеобщему, без единства и посредника), то становится невозможно объяснить возможность познания мира, потому что закономерностей в явлениях можно найти бесконечное число путем индукции, и основная их часть абсолютно бесполезна.

      Числа - это некие конструкты, сделанные для познания. В природе мы никогда не видим никаких объектов, а только связи между ними. Придумывая объекты, легче осознавать связи. Устройство  мышления таково, что оно едино с природой, и в нём есть много того, что есть в самой природе.

     Итак, разобравшись с этими тремя тупиками, возвращаемся к единству всеобщего, единичного и особенного. Полученное единство можно изобразить в виде схемы:

     Осознание важности векторов начало появляться только в 20-м веке, в связи с развитием квантовой теории. Любой объект описывается вектором состояния и в современной физике это и есть самая фундаментальная реальность. Кроме того, развитие физики элементарных частиц показало, что особую роль в устройстве материи играют группы и алгебры Ли. Каждая группа элементарных частиц отождествляется с каким-либо неприводимым представлением, а каждая частица - с базисным вектором этого представления. Кваркам, например, соответствует простейшее триплетное представление в виде трёх спиноров группы SU(3), а группе частиц из 8 барионов и мезонов - октетное (1,1) представление той же группы SU(3). По лемме Шура, оператор, коммутирующий со всеми генераторами неприводимого представления, кратен единичному оператору. Этот оператор в каждом представлении задаёт группу симметрии. У любой n-параметрической группы имеется n генераторов. Если U - группа симметрии, то она коммутирует с гамильтонианом, а значит гамильтониан коммутирует со всеми генераторами группы. Ну а поскольку производная по времени от функции, соответствующей произвольному оператору, в квантовой теории пропорциональная коммутатору гамильтониана с ней самой же (уравнение Гейзенберга - коммутатор в нём является квантовым аналогом скобки Пуассона), то получается сохранение генераторов. Этот факт носит название теоремы Нётер и объясняет связь между симметриями и законами сохранения. С учётом того, что элементарные частицы отождествляются с векторами неприводимых представлений групп Ли, получается, что операторы Казимира универсальных обёртывающих алгебр объясняют существование квантовых чисел и законов сохранения вообще (за исключением, разве что, топологических квантовых чисел типа барионного заряда - но такие квантовые числа появляются благодаря гомотопическим группам и по сути представляют собой две грани одного и того же явления. Ну а поскольку топологические квантовые числа могут создаваться и разрушаться в процессе фазовых переходов - это объясняет, каким образом могло получиться так, что в нашей вселенной материя преобладает над антиматерией). На довольно доступном уровне основы современной стандартной модели со всеми подобными вопросами изложены здесь:

    Итак, получается, что векторная структура реальности даёт ответы и понимание многих сложных вопросов, которые считались в прошлом неразрешимыми и скорее относились к области философии (природа законов сохранения, симметрии в нашей вселенной и тому подобное). Учитывая то, что векторную структуру природа имеет не только на уровне элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий, но и на бытовом уровне (векторная структура R^3, да и вообще R^n, например, вплоть до того, что многие общественные явления могут быть явно описаны векторной структурой - например, сдвиг научной парадигмы в сообществе учёных, компоненты вектора соответствуют количеству учёных в той или иной парадигме, а выбор той или иной парадигмы полностью аналогичен квантовому измерению системы, рассматриваемому как процесс познания), данное направление исследований и философствования представляется продуктивным.  

     Общественные явления имеют такую структуру зачастую потому, что само сознание человека и процесс принятия решений аналогичны процессу квантового измерения, да и психические процессы, судя по всему, имеют векторную структуру. Весьма вероятно, исследования в этом направлении позволят решить многие вечные вопросы - проблему универсалий, сознания и материи и т.п.

     Числа являются чистым количеством, в них нет качества. А вектор - это то, что соединяет в себе и качество, и количество. Векторы могут быть совершенно разной природы - их можно рассматривать и с точки зрения количества (как объект векторной алгебры) и с точки зрения их качества, то есть того, что в них содержится, какие объекты реальности описываются. Числа исчерпываются своей математической структурой, а векторы - нет. Думается, что наглядное представление о векторе как направленном отрезке сыграло плохую роль в осмыслении этого понятия. Векторами являются также функции, заданные на каком-либо множестве. Векторами являются любые виды тензоров и волновые функции квантовых состояний. В общем - любой объект, который удовлетворяет аксиомам векторного пространства. На схеме векторы соединяют в себе и математику, и физику, и информатику, потому что являются центральным объектом и для многих разделов математики, и для современной физики, и для многих концепций программирования.